Tipos de matrizes: Quadrada, triangular, diagonal, nula e outras

Perguntas e respostas sobre tipos de matrizes, como a quadrada, triangular, diagonal, identidade, nula, linha e igualdade. Veja as definições e respostas de cada uma.

» Página Inicial

O que é uma matriz?

Chamamos de matriz de ordem mxn uma tabela de mxn elementos, m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais diferentes de zero (pertencentes ao conjunto N*). Em uma matriz, podemos representar dados diversos de forma organizada, como por exemplo: as idades dos indivíduos de um determinado grupo, a quantidade de vendas de cada produto de uma loja, o preço de cada produto de uma loja etc.

Dessa forma, na prática, as matrizes mostram-se bastante úteis para cálculos administrativos de negócios, por exemplo. Além de outras tantas aplicações.

[caption id="attachment_1103" align="alignnone" width="800"]Espiral de Fibonassi Espiral de Fibonassi[/caption]

Veja abaixo alguns tipos de matriz:

triangular

Uma matriz triangular é identificada quando todos os elementos dentro do conjunto, tanto abaixo ou acima da diagonal, são nulos. Somente uma parte delas precisa ser nula.

Uma matriz triangular é também uma matriz quadrada, e pode ser de dois tipos: superior, quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, aij=0 para i>j; ou inferior, quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, aij=0 para i<j.

Quadrada

É quando a matriz apresenta a mesma quantidade de linhas e colunas. Sendo uma matriz quadrada, ela também apresenta dois tipos de diagonais a principal e a secundária. Seu cálculo sempre segue dessa forma: n (sendo o valor total da matriz) = X (número total de linhas) multiplicado por Y (número total de colunas). Tal que X=Y ou, por convenção, m = n. Uma matriz de ordem 4, por exemplo, é aquela que possui 4 linhas e 4 colunas, isto é, uma matriz 4x4.

Diagonal principal e a diagonal secundária

Para entendermos as próximas definições, precisamos entender o conceito de diagonal. Em primeiro lugar devemos ressaltar que apenas as matrizes quadradas possuem diagonais.

A diagonal principal nada mais é do que o conjunto de elementos de uma matriz nos quais i=j, sendo i a linha em que se encontra o elemento e j a coluna. Por exemplo: uma matriz A de 2 linhas e 2 colunas possui como componentes da diagonal principal os elementos a11 (elemento da primeira linha, primeira coluna) e a22 (elemento da segunda linha, segunda coluna). Em uma matriz nxn, a diagonal principal estende-se do elemento a11 até o elemento ann.

Já a diagonal secundária é aquela que, com a diagonal principal, forma o desenho de um X. Ela corresponde ao conjunto de elementos de uma matriz nos quais i + j = n + 1. Por exemplo: uma matriz B de 3 linhas e 3 colunas possui como componentes da diagonal secundária os elementos b13 (elemento da primeira linha, terceira coluna), b22 (elemento da segunda linha, segunda coluna) e b31 (elemento da terceira linha, primeira coluna). Notem que n (o número de colunas) é 3, então n + 1 = 4. Percebam que somando i + j em qualquer um desses três elementos obtemos o resultado 4 (1+3=4; 2+2=4;3+1=4), portanto eles pertencem à diagonal secundária.

Outra forma de identificar os elementos da diagonal secundária é seguindo a sequência lógica: a1n, a2n-1, a3n-2, ..., an1.

Nula

A matriz nula é quando todos os elementos presentes são zero ou resultam nesse número, não importando o número de linhas ou colunas dentro da matriz. De forma bem simples, ela pode ser representada por 0 m x n.

Identidade

A matriz identidade também é uma matriz quadrada. Contudo, esse tipo de matriz apresenta seus elementos da diagonal principal iguais a 1. Tendo essas variáveis iguais a 1, o restante dos elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal são nulos ou iguais a zero.

A matriz identidade possui várias aplicações importantes, dentre as quais podemos citar o cálculo de matrizes inversas, onde A*A¨1=I, sendo I a matriz identidade da mesma ordem de A.

Linha

A matriz linha recebe esse nome porque ela só pode conter uma linha. O número de colunas não precisa ser somente uma e sua quantidade não possui limite. Se uma matriz linha, por exemplo, conter três elementos, ela pode ser representada como n = 1x3. Esse tipo de matriz é também denominado vetor, possuindo aplicações importantes na estruturação de algoritmos de várias linguagens de programação, por exemplo.

Coluna

Seguindo o mesmo raciocínio mostrado na matriz linha, a matriz coluna recebe esse nome porque só pode obter uma coluna. A quantidade de linhas presentes na matriz também não possui um limite estabelecido. Se uma matriz coluna tiver seis elementos, por exemplo, a operação pode identificada dessa forma: n= 6x1.

Matrizes iguais

É quando duas matrizes possuem elementos exatamente iguais e precisam ser correspondentes.

O que são matrizes transpostas?

A transposta de uma matriz A mxn é aquela que possui nxm elementos que correspondem aos elementos de A, de forma que a primeira linha de A seja igual à primeira coluna de sua transposta, a segunda linha de A seja igual à segunda coluna de sua transposta, e assim por diante. Por exemplo: uma matriz A 2x3 tem sua transposta de ordem 3x2 e, supondo que os elementos da primeira linha de A sejam 1, 2 e 3, os elementos da primeira coluna da transposta de A serão 1, 2 e 3.

O que são matrizes simétricas?

Matrizes simétricas são quadradas. Se uma matriz A é simétrica, então A=At, sendo At a sua transposta. Por exemplo: uma matriz A de ordem 3 possui como primeira linha os elementos 1, 2 e 3; como segunda linha os elementos 2, 5 e 6; e como terceira linha os elementos 3, 6 e 8. Se compararmos essa matriz com a sua transposta, percebemos que as duas são idênticas, pois, em A, a primeira linha é igual à primeira coluna, a segunda linha é igual à segunda coluna e a terceira linha é igual à terceira coluna.


 
Veja também: